Question

设函数f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．

Answer

（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；
（2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．
【解析】
（1）当k=1时，f（x）=（x-1）ex-x2f'（x）=ex+（x-1）ex-2x=x（ex-2）
令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x （-∞，0） （0，ln2） ln2 （ln2，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）
（2）f（x）=（x-1）ex-kx2，x∈[0，k]，．
f'（x）=xex-2kx=x（ex-2k）f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）
令φ（k）=k-ln（2k），，
所以φ（k）在上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ，∴1-ln2≤φ（k）＜＜k．
即0＜ln（2k）＜k
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x （0，ln（2k）） ln（2k） （ln（2k），k）
f'（x） - +
f（x） ↘ 极小值 ↗

f（0）=-1，f（k）=（k-1）ek-k3f（k）-f（0）=（k-1）ek-k3+1=（k-1）ek-（k3-1）=（k-1）ek-（k-1）（k2+k+1）=（k-1）[ek-（k2+k+1）]
因为，所以k-1≤0
对任意的，y=ex的图象恒在y=k2+k+1下方，所以ek-（k2+k+1）≤0
所以f（k）-f（0）≥0，即f（k）≥f（0）
所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k-1）ek-k3.