Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若C=，求的值．

Answer

（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．
（2）若C=，由（1）可得c=2b-a，由余弦定理可得 （2b-a）2=a2+b2-2ab•cosC，化简可得 5ab=3b2，由此可得 的值．
【解析】
（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，
∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B．
再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，故a，b，c成等差数列．
（2）若C=，由（1）可得c=2b-a，由余弦定理可得 （2b-a）2=a2+b2-2ab•cosC=a2+b2+ab．
化简可得 5ab=3b2，∴=．