Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA₁=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3
（1）证明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求点B₁到平面EA₁C₁ 的距离．

Answer

（1）过点B作BF⊥CD于F点，算出BF、EF、FC的长，从而在△BCE中算出BE、BC、CE的长，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，结合BE⊥BB1利用线面垂直的判定定理，可证出BE⊥平面BB1C1C；
（2）根据AA1⊥平面A1B1C1，算出三棱锥E-A1B1C1的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A1C1=EC1=3、A1E=2，从而得到等腰△A1EC1的面积S△=3，设B1到平面EA1C1 的距离为d，可得三棱锥B1-A1C1E的体积V=×S△×d=d，从而得到=d，由此即可解出点B1到平面EA1C1 的距离．
【解析】
（1）过点B作BF⊥CD于F点，则
BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=2
在Rt△BEF中，BE==；在Rt△BCF中，BC==
因此，△BCE中可得BE2+BC2=9=CE2
∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，
∵BB1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴BE⊥BB1，
∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线，∴BE⊥平面BB1C1C；
（2）∵AA1⊥平面A1B1C1，得AA1是三棱锥E-A1B1C1的高线
∴三棱锥E-A1B1C1的体积V=×AA1×S△=
在Rt△A1D1C1中，A1C1==3
同理可得EC1==3，A1E==2
∴等腰△A1EC1的底边EC1上的中线等于=，
可得S△=×2×=3
设点B1到平面EA1C1 的距离为d，则三棱锥B1-A1C1E的体积为
V=×S△×d=d，可得=d，解之得d=
即点B1到平面EA1C1 的距离为．