Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A．∃x_α∈R，f（x_α）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若x_α是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x_α）单调递减
D．若x_α是f（x）的极值点，则f^′（x_α）=0

Answer

利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．
【解析】
f′（x）=3x2+2ax+b．
（1）当△=4a2-12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下
x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f'（x） + - +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

由表格可知：
①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（-∞，x2）不具有单调性，故C不正确．
②∵+f（x）=+x3+ax2+bx+c=，
=，
∵+f（x）=，
∴点P为对称中心，故B正确．
③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，D正确．
④∵x→-∞时，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．
（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；
②B同（1）中②正确；
③∵x→-∞时，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．
综上可知：错误的结论是C．
故选C．