Question

设抛物线C：y²=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y²=4x或y²=8
B．y²=2x或y²=8
C．y²=4x或y²=16
D．y²=2x或y²=16

Answer

根据抛物线方程算出|OF|=，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．
【解析】
∵抛物线C方程为y2=3px（p＞0）
∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM
Rt△AOF中，|AF|==
∴sin∠OAF==
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
∵|MF|=5，|AF|=
∴=，整理得4+=，解之可得p=或p=
因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x
故选：C