Question

已知点A（-1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

Answer

先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（-，0），由-≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的
交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得 b＜； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1-．结合所给的选项，综合可得结论．
【解析】
由题意可得，三角形ABC的面积为 =1，
由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（-，0），由-≤0，可得点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为 N，则由可得点N的坐标为（，）．
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则-=-1，且=，解得a=b=．
②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即 =，
即 =，解得a=＞0，故有 b＜．
③若点M在点A的左侧，则-＜-1，故b＞a．设直线y=ax+b和AC的交点为P，
则由 求得点P的坐标为（，），
此时，NP==
==•．
此时，点C（0，1）到直线y=ax+b的距离等于 ．
由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •••=．
化简可得2（1-b）2=|a2-1|．
由于此时 b＞a＞0，∴2（1-b）2=|a2-1|=1-a2 ．
两边开方可得 （1-b）=＜1，∴1-b＜，化简可得 b＞1-．
综合以上可得，b=可以，且b＜，且b＞1-，即b的取值范围是 ，
故选B．