Question

平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y-=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．
（Ι）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

Answer

（I）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x，y），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．
（II）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y-=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD=即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．
【解析】
（I）把右焦点（c，0）代入直线x+y-=0得c+0-=0，解得c=．
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x，y），
则，，相减得，
∴，
∴，又=，
∴，即a2=2b2．
联立得，解得，
∴M的方程为．
（II）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，
联立，消去y得到3x2+4tx+2t2-6=0，
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，
∴△=16t2-12（2t2-6）=72-8t2＞0，解-3＜t＜3（*）．
设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．
∴|CD|===．
联立得到3x2-4x=0，解得x=0或，
∴交点为A（0，），，
∴|AB|==．
∴S四边形ACBD===，
∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．
∴四边形ACBD面积的最大值为．