Question

选修4--4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

Answer

（I）根据题意写出P，Q两点的坐标：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标，从而得出M的轨迹的参数方程；
（II）利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离d==，再验证当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．
【解析】
（I）根据题意有：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），
∵M为PQ的中点，故M（cosα+cos2α，sin2α+sinα），
∴求M的轨迹的参数方程为：（α为参数，0＜α＜2π）．
（II）M到坐标原点的距离d==（0＜α＜2π）．
当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．