Question

已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．y=f（x）的图象关于x=对称
C．f（x）的最大值为
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数

Answer

对于A选项，用中心对称的充要条件，直线验证f（2π-x）+f（x）=0是否成立即可判断其正误；
对于B选项，用轴对称的条件直线验证f（π-x）=f（x）成立与否即可判断其正误；
对于C选项，可将函数解析式换为f（x）=2sinx-2sin3x，再换元为y=2t-2t3，t∈[-1，1]，利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误；
对于D选项，可利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明．
【解析】
对于A选项，因为f（2π-x）+f（x）=cos（2π-x）sin2（2π-x）+cosxsin2x=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，A正确；
对于B选项，因为f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x=不对称，故B正确；
对于C选项，f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1-sin2x）=2sinx-2sin3x，令t=sinx∈[-1，1]，则y=2t-2t3，t∈[-1，1]，则y′=2-6t2，令y′＞0解得，故y=2t-2t3，在[]上增，在[]与[]上减，又y（-1）=0，y（）=，故函数的最大值为，故C错误；
对于D选项，因为f（-x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，所以函数即是奇函数，又是周期函数
，故D正确
综上知，错误的结论只有C，
故选C