Question

如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（I）证明：PB⊥CD；
（II）求二面角A-PD-C的大小．

Answer

（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；
（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A-PD-C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π-arccos，即得二面角A-PD-C的平面角大小．
【解析】
（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形
过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE
∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD
因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB
∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB
∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；
（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB
∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD
∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD
取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，
则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD
连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A-PD-C的平面角
连接AG、EG，则EG∥PB
∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，
设AB=2，则AE=2，EG=PB=1，故AG==3
在△AFG中，FG=CD=，AF=，AG=3
∴cos∠AFG==-，得∠AFG=π-arccos，
即二面角A-PD-C的平面角大小是π-arccos．