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已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直...

已知双曲线C:manfen5.com 满分网=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为manfen5.com 满分网
(I)求a,b;
(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.
(I)由题设,可由离心率为3得到参数a,b的关系,将双曲线的方程用参数a表示出来,再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程; (II)由(I)的方程求出两焦点坐标,设出直线l的方程设A(x1,y1),B(x2,y2),将其与双曲线C的方程联立,得出x1+x2=,,再利用|AF1|=|BF1|建立关于A,B坐标的方程,得出两点横坐标的关系,由此方程求出k的值,得出直线的方程,从而可求得:|AF2|、|AB|、|BF2|,再利用等差数列的性质进行判断即可证明出结论. 【解析】 (I)由题设知=3,即=9,故b2=8a2 所以C的方程为8x2-y2=8a2 将y=2代入上式,并求得x=±, 由题设知,2=,解得a2=1 所以a=1,b=2 (II)由(I)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8    ① 由题意,可设l的方程为y=k(x-3),|k|<2代入①并化简得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1≤-1,x2≥1,x1+x2=,,于是 |AF1|==-(3x1+1), |BF1|==3x2+1, |AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即 故=,解得,从而=- 由于|AF2|==1-3x1, |BF2|==3x2-1, 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2||BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16 因而|AF2||BF2|=|AB|2,所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列
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考点分析:
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