Question

已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．
（I）求a，b；
（II）设过F₂的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF₁|=|BF₁|，证明：|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比数列．

Answer

（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；
（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等差数列的性质进行判断即可证明出结论．
【解析】
（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2
所以C的方程为8x2-y2=8a2
将y=2代入上式，并求得x=±，
由题设知，2=，解得a2=1
所以a=1，b=2
（II）由（I）知，F1（-3，0），F2（3，0），C的方程为8x2-y2=8    ①
由题意，可设l的方程为y=k（x-3），|k|＜2代入①并化简得（k2-8）x2-6k2x+9k2+8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1≤-1，x2≥1，x1+x2=，，于是
|AF1|==-（3x1+1），
|BF1|==3x2+1，
|AF1|=|BF1|得-（3x1+1）=3x2+1，即
故=，解得，从而=-
由于|AF2|==1-3x1，
|BF2|==3x2-1，
故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）-9x1x2-1=16
因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列