Question

已知函数f（x）=x²-2（a+2）x+a²，g（x）=-x²+2（a-2）x-a²+8．设H₁（x）=max{f（x），g（x）}，H₂（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H₁（x）的最小值为A，H₂（x）的最大值为B，则A-B=（ ）
A．16
B．-16
C．-16a²-2a-16
D．16a²+2a-16

Answer

先作差得到h（x）=f（x）-g（x）=2（x-a）2-8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B即可．
【解析】
令h（x）=f（x）-g（x）=x2-2（a+2）x+a2-[-x2+2（a-2）x-a2+8]=2x2-4ax+2a2-8=2（x-a）2-8．
①由2（x-a）2-8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；
②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a-2，此时f（x）＞g（x）；
③由h（x）＜0，解得a-2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．
综上可知：（1）当x≤a-2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x-（a+2）]2-4a-2，
H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=-[x-（a-2）]2-4a+12，
（2）当a-2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；
（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），
H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），
故A=g（a+2）=-[（a+2）-（a-2）]2-4a+12=-4a-4，B=g（a-2）=-4a+12，
∴A-B=-4a-4-（-4a+12）=-16．
故选B．