Question

已知函数f（x）=（1+x）e^-2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，
（I）求证：；
（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）①当x∈[0，1）时，（1+x）e-2x≥1-x⇔（1+x）e-x≥（1-x）ex，令h（x）=（1+x）e-x-（1-x）ex，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；
②当x∈[0，1）时，⇔ex≥1+x，令u（x）=ex-1-x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．
（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1-x，于是G（x）=f（x）-g（x）≥=．再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．
（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e-2x≥1-x⇔（1+x）e-x≥（1-x）ex，
令h（x）=（1+x）e-x-（1-x）ex，则h′（x）=x（ex-e-x）．
当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，
∴h（x）在[0，1）上是增函数，
∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1-x．
②当x∈[0，1）时，⇔ex≥1+x，令u（x）=ex-1-x，则u′（x）=ex-1．
当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，
∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，
∴f（x）．
综上可知：．
（II）【解析】
设G（x）=f（x）-g（x）=
≥=．
令H（x）=，则H′（x）=x-2sinx，
令K（x）=x-2sinx，则K′（x）=1-2cosx．
当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，
可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，
∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．
∴当a≤-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．
下面证明当a＞-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．
f（x）-g（x）≤==-x．
令v（x）==，则v′（x）=．
当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，
∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．
当a＞-3时，a+3＞0．
∴存在x∈（0，1），使得v（x）＞0，此时，f（x）＜g（x）．
即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．
综上实数a的取值范围是（-∞，-3]．