Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A A₁，∠BA A₁=60°
（Ⅰ）证明AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A₁C=，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer

（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论；
（Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．
（Ⅰ）证明：如图，
取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．
因为CA=CB，所以OC⊥AB．
由于AB=AA1，，故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB．
因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；
（Ⅱ）【解析】
由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
所以．
又，则，故OA1⊥OC．
因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高．
又△ABC的面积，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积．