Question

如图．在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA₁=3，D是BC的中点，点E在棱BB₁上运动．
（1）证明：AD⊥C₁E；
（2）当异面直线AC，C₁E 所成的角为60°时，求三棱锥C₁-A₁B₁E的体积．

Answer

（1）根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB1，等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB1C1C，从而可得AD⊥C1E；
（2）根据AC∥A1C1，得到∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角．由A1C1⊥A1B1且A1C1⊥AA1，证出A1C1⊥平面AA1B1B，从而在Rt△A1C1E中得到∠EC1A1=60°，利用余弦的定义算出C1E=2A1C1=2，进而得到△A1B1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1-A1B1E的体积．
【解析】
（1）∵直棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1
∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC
又∵BC、BB1⊂平面BB1C1C，BC∩BB1=B
∴AD⊥平面BB1C1C，结合C1E⊂平面BB1C1C，可得AD⊥C1E；
（2）∵直棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，
∴∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角
∵∠BAC=∠B1A1C1=90°，∴A1C1⊥A1B1，
又∵AA1⊥平面A1B1C1，可得A1C1⊥AA1，
∴结合A1B1∩AA1=A1，可得A1C1⊥平面AA1B1B，
∵A1E⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥A1E
因此，Rt△A1C1E中，∠EC1A1=60°，可得cos∠EC1A1==，得C1E=2A1C1=2
又∵B1C1==2，∴B1E==2
由此可得V=S△×A1C1=×=