Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n，n∈N^*
（Ⅰ）求a₁，a₂，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和．

Answer

（Ⅰ）令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n≥2时再令n=n-1得到2an-1-1=Sn-1，两个式子相减得an=2an-1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出nan=n•2n-1，再由错位相减法求出此数列的前n项和．
【解析】
（Ⅰ）令n=1，得2a1-a1=，即，
∵a1≠0，∴a1=1，
令n=2，得2a2-1=1+a2，解得a2=2，
当n≥2时，由2an-1=Sn得，2an-1-1=Sn-1，
两式相减得2an-2an-1=an，即an=2an-1，
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an=2n-1，即数列{an}的通项公式an=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，nan=n•2n-1，设数列{nan}的前n项和为Tn，
则Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1，①
2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②
①-②得，-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=2n-1-n•2n，
∴Tn=1+（n-1）2n．