Question

已知函数，其中a是实数．设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，证明：x₂-x₁≥1；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

Answer

（I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），再利用f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，斜率之积等于-1，得出（2x1+2）（2x2+2）=-1，最后利用基本不等式即可证得x2-x1≥1；
（III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx2+（）2-1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．
【解析】
（I）函数f（x）的单调减区间（-∞，-1），函数f（x）的单调增区间[-1，0），（0，+∞）；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），
函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）=-1，
当x＜0时，（2x1+2）（2x2+2）=-1，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，
∴x2-x1=[-（2x1+2）+（2x2+2）]≥=1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x2-x1≥1；
（III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，
当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y-（x+2x1+a）=（2x1+2）（x-x1）；
当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y-lnx2=（x-x2）；
两直线重合的充要条件是，
由①及x1＜0＜x2得0＜＜2，由①②得a=lnx2+（）2-1=-ln+（）2-1，
令t=，则0＜t＜2，且a=t2-t-lnt，设h（t）=t2-t-lnt，（0＜t＜2）
则h′（t）=t-1-=，∴h（t）在（0，2）为减函数，
则h（t）＞h（2）=-ln2-1，∴a＞-ln2-1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（-ln2-1，+∞）．