Question

设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A₁B₁和A₂B₂，使|A₁B₁|=|A₂B₂|，其中A₁、B₁和A₂、B₂分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由双曲线的基本性质可知，直线A1B1和A2B2，关于x轴对称，并且直线A1B1和A2B2，与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°，否则不满足题意．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【解析】
由双曲线的基本性质对称轴是坐标轴，这时只须考虑双曲线的焦点在x轴的情形．
因为有且只有一对相较于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，
所以直线A1B1和A2B2，关于x轴对称，并且直线A1B1和A2B2，与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意．
可得，即，，所以e＞．
同样地，当，即，所以e≤2．
所以双曲线的离心率的范围是．
故选A．