Question

如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．

Answer

（Ⅰ）设椭圆方程为，将左焦点坐标代入椭圆方程可得y=，则，又②，a2=b2+c2③，联立①②③可求得a，b；
（Ⅱ）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），则圆Q的方程为：（x-t）2+y2=r2，联立圆与椭圆方程消掉y得x的二次方程，则△=0①，易求P点坐标，代入圆的方程得等式②，由①②消掉r得m=2t，则，变为关于t的函数，利用基本不等式可求其最大值及此时t值，由对称性可得圆心Q在y轴左侧的情况；
【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为，
左焦点F1（-c，0），代入椭圆方程得，y=，
所以①，②，a2=b2+c2③，联立①②③解得a=4，，
所以椭圆方程为：；
（Ⅱ）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），
则圆Q的方程为：（x-t）2+y2=r2，
由得x2-4tx+2t2+16-2r2=0，
由△=0，即16t2-4（2t2+16-2r2）=0，得t2+r2=8，①
把x=m代入，得，
所以点P坐标为（m，），代入（x-t）2+y2=r2，得，②
由①②消掉r2得4t2-4mt+m2=0，即m=2t，
=×（m-t）=≤×=2，
当且仅当4-t2=t2即t=时取等号，
此时t+r=+＜4，椭圆上除P、P′外的点在圆Q外，
所以△PP'Q的面积S的最大值为，圆Q的标准方程为：．
当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为，△PP'Q的面积S的最大值仍为为．