Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．

Answer

（Ⅰ）由余弦定理表示出cosA，将依照等式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出sinA的值，由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式，表示出S，代入已知等式中提取3变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的图象与性质即可求出S+3cosBcosC的最大值，以及此时B的值．
【解析】
（Ⅰ）由余弦定理得：cosA===-，
∵A为三角形的内角，∴A=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA=，由正弦定理得：b=，csinA=asinC及a=得：
S=bcsinA=••asinC=3sinBsinC，
则S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B-C），
则当B-C=0，即B=C==时，S+3cosBcosC取最大值3．