Question

抛物线C₁：的焦点与双曲线C₂：的右焦点的连线交C₁于第一象限的点M．若C₁在点M处的切线平行于C₂的一条渐近线，则p=（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．
【解析】
由，得x2=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（）．
由，得，．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，
即①．
设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．
由题意可知，得，代入M点得M（）
把M点代入①得：．
解得p=．
故选D．