Question

如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（1）求证：AB∥GH；
（2）求二面角D-GH-E的余弦值．

Answer

（1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH；
（2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D-GH-E的余弦值．
（1）证明：如图，

∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB，
又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB，
则EF∥CD．又EF⊂平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．
又CD⊂平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．
又AB∥CD，∴AB∥GH；
（2）由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形，
以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AB=BP=BQ=2，
则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），
因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0，，）．
则，
，．
设平面GCD的一个法向量为
由，得，取z1=1，得y1=2．
所以．
设平面EFG的一个法向量为
由，得，取z2=2，得y2=1．
所以．
所以=．
则二面角D-GH-E的余弦值等于．