Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n且（λ为常数）．令c_n=b_2n（n∈N^※）求数列{c_n}的前n项和R_n．

Answer

（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{an}的通项公式；
（2）把{an}的通项公式代入，求出当n≥2时的通项公式，然后由cn=b2n得数列{cn}的通项公式，最后利用错位相减法求其前n项和．
【解析】
（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1-d+1=0①
再由S4=4S2，得，即d=2a1②
联立①、②得a1=1，d=2．
所以an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）把an=2n-1代入，得，则．
所以b1=T1=λ-1，
当n≥2时，=．
所以，．
Rn=c1+c2+…+cn=③
④
③-④得：=
所以；
所以数列{cn}的前n项和．