Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F
（1）求证：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

Answer

（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠FEA=，所以EF⊥AD且AF=FD，结合题意得到FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA，根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG；
（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（1，-，）和=（1，，2）分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，即可得到平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
【解析】
（1）∵在△DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1，
∴AE=BD，可得∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=
∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=
∴∠FED=∠FEA=，可得EF⊥AD，AF=FD
又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∵AD⊂平面ABCD，∴FG⊥AD
又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG；
（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得
A（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），D（0，，0），P（0，0，）
∴=（，，0），=（-，-，），=（-，，0）
设平面BCP的法向量=（1，y1，z1），则
解得y1=-，z1=，可得=（1，-，），
设平面DCP的法向量=（1，y2，z2），则
解得y2=，z2=2，可得=（1，，2），
∴cos＜，＞===
因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于|cos＜，＞|=．