Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A₁C₁的中点．
（Ⅰ） 证明EF∥平面A₁CD；
（Ⅱ） 证明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅲ） 求直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer

（I）连接ED，要证明EF∥平面平面A1CD，只需证明EF∥DA1即可；
（II）欲证平面平面A1CD⊥平面A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD⊥面A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证；
（III）先过B作BG⊥AD交A1D于G，利用（II）中结论得出BG⊥面A1CD，从而∠BCG为所求的角，最后在直角△BGC中，求出sin∠BCG即可得出直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．
证明：（I）三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，
可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，
所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，
DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD
（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，
又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，
∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，
∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；
（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，
∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，
BG⊥A1D，
∴BG⊥面A1CD，
则∠BCG为所求的角，
设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，
在直角△BGC中，sin∠BCG==，
∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．