Question

已知首项为的等比数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），且-2S₂，S₃，4S₄成等差数列．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 证明．

Answer

（Ⅰ）由题意得2S3=-2S2+4S4，变形为S4-S3=S2-S4，进而求出公比q的值，代入通项公式进行化简；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入再对n分类进行化简，判断出Sn随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出的最大值．
（Ⅰ）【解析】
设等比数列{an}的公比为q，
∵-2S2，S3，4S4等差数列，
∴2S3=-2S2+4S4，即S4-S3=S2-S4，
得2a4=-a3，∴q=，
∵，∴=；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，Sn==1-，
∴，
当n为奇数时，==，
当n为偶数时，=，
∴随着n的增大而减小，
即，且，
综上，有成立．