Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₄，S₂，S₃成等差数列，且a₂+a₃+a₄=-18．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S_n≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，依题意，列出关于其首项a1与公办q的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）依题意，可求得1-（-2）n≥2013，对n的奇偶性分类讨论，即可求得答案．
（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得，解得q=-2，a3=12，
故数列{an}的通项公式为an=a3•qn-3=12×（-2）n-3=（-）×（-2）n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有an=（-）×（-2）n．若存在正整数n，使得Sn≥2013，则Sn==1-（-2）n，即1-（-2）n≥2013，
当n为偶数时，2n≤-2012，上式不成立；
当n为奇数时，1+2n≥2013，即2n≥2012，则n≥11．
综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1（k≥5）}．