Question

如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A₁处发现矿藏，再继续下钻到A₂处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A₁A₂=d₁．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B₁B₂=d₂，C₁C₂=d₃，且d₁＜d₂＜d₃．过AB，AC的中点M，N且与直线AA₂平行的平面截多面体A₁B₁C₁-A₂B₂C₂所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S_中．
（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A₁B₁C₁-A₂B₂C₂的体积V）时，可用近似公式V_估=S_中-h来估算．已知V=（d₁+d₂+d₃）S，试判断V_估与V的大小关系，并加以证明．

Answer

（Ⅰ）首先利用线面垂直、线面平行的性质及平行公理证出四边形DEFG的一组对边相互平行，然后由梯形中位线知识证明一组对边不相等，则可证明中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）由题意可证得MN是中截面梯形DEFG的高，根据四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形，利用梯形的中位线公式吧DE，FG用d1，d2，d3表示，这样就能把V估用含有a，h，d1，d2，d3的代数式表示，把V=（d1+d2+d3）S与V估作差后利用d1，d2，d3的大小关系可以判断出差的符号，及能判断V估与V的大小关系．
（Ⅰ）依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，
所以A1A2∥B1B2∥C1C2，又A1A2=d1，B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．
因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形．
由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME，
可得AA2∥ME，即A1A2∥DE．同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG．
又M，N分别为AB，AC的中点，
则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1 的中点，
即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线．
因此DE=，FG=，
而d1＜d2＜d3，故DE＜FG，所以中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）V估＜V．证明：
由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN．
而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN．
由MN是△ABC的中位线，可得MN=BC=a，即为梯形DEFG的高，
因此，
即．又
S=ah，所以．
于是=．
由d1＜d20，d3-d1＞0，故V估＜V．