Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．
（1）求PA的长；
（2）求二面角B-AF-D的正弦值．

Answer

（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，-3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，-2），可得PA的长为2；
（II）由（I）的计算，得=（-，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，-2）和=（3，-，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B-AF-D的正弦值．．
【解析】
（I）如图，连接BD交AC于点O
∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD
以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，
则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC-OC=3．
又∵OD=CDsin=，
∴可得A（0，-3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（-，0，0）
由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，-3，z）
∵F为PC边的中点，∴F（0，-1，），由此可得=（0，2，），
∵=（，3，-z），且AF⊥PB，
∴•=6-=0，解之得z=2（舍负）
因此，=（0，0，-2），可得PA的长为2；
（II）由（I）知=（-，3，0），=（，3，0），=（0，2，），
设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），
∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，-2），
同理，由•=0且•=0，解出=（3，-，2），
∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===
因此，二面角B-AF-D的正弦值等于=