Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a²+b²+ab=c²．
（1）求C；
（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．

Answer

（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B的度数求出sin（A+B）的值，进而求出cos（A+B）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，将各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．
【解析】
（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2-c2=-ab，
∴由余弦定理得：cosC===-，
又C为三角形的内角，
则C=；
（2）由题意==，
∴（cosA-tanαsinA）（cosB-tanαsinB）=，
即tan2αsinAsinB-tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB-tanαsin（A+B）+cosAcosB=，
∵C=，A+B=，cosAcosB=，
∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=-sinAsinB=，即sinAsinB=，
∴tan2α-tanα+=，即tan2α-5tanα+4=0，
解得：tanα=1或tanα=4．