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定义“正数对”:ln+x=,现有四个命题: ①若a>0,b>0,则ln+(ab)...

定义“正数对”:ln+x=manfen5.com 满分网,现有四个命题:
①若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a;
②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;
③若a>0,b>0,则manfen5.com 满分网
④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+2.
其中的真命题有    (写出所有真命题的序号)
由题意,根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断,由于在不同的定义域中函数的解析式不一样,故需要对a,b分类讨论,判断出每个命题的真假 【解析】 对于①,由定义,当a≥1时,ab≥1,故ln+(ab)=ln(ab)=blna,又bln+a=blna,故有ln+(ab)=bln+a; 当a<1时,ab<1,故ln+(ab)=0,又a<1时bln+a=0,所以此时亦有ln+(ab)=bln+a.由上判断知①正确; 对于②,此命题不成立,可令a=2,b=,则ab=,由定义ln+(ab)=0,ln+a+ln+b=ln2,所以ln+(ab)≠ln+a+ln+b;由此知②错误; 对于③,当a≥b>0时,≥1,此时≥0,当a≥b≥1时,ln+a-ln+b=lna-lnb=,此时命题成立;当a>1>b时,ln+a-ln+b=lna,此时,故命题成立;同理可验证当1>a≥b>0时,成立;当<1时,同理可验证是正确的,故③正确; 对于④,可分a≤1,b≤1与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1三类讨论,依据定义判断出④是正确的 故答案为①③④
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考点分析:
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