Question

如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PA、AB、BC、PD、PC的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD
（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．

Answer

（Ⅰ）取PA的中点H，则由条件可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH．再由直线和平面平行的判定定理证明CE∥平面PAD．
（Ⅱ）先证明MN⊥平面PAC，再证明平面EFG∥平面PAC，可得MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，利用平面和平面垂直的判定定理证明平面EFG⊥平面EMN．
（Ⅰ）证明：∵四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PA、AB、BC、PD、PC的中点，取PA的中点H，
则由HE∥AB，HE=AB，而且CD∥AB，CD=AB，可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH．
由于DH在平面PAD内，而 CE不在平面PAD内，故有CE∥平面PAD．
（Ⅱ）由于AB⊥AC，AB⊥PA，而PA∩AC=A，可得AB⊥平面PAC．再由AB∥CD可得，CD⊥平面PAC．
由于MN是三角形PCD的中位线，故有MN∥CD，故MN⊥平面PAC．
由于EF为三角形PAB的中位线，可得EF∥PA，而PA在平面PAC内，而EF不在平面PAC内，故有EF∥平面PAC．
同理可得，FG∥平面PAC．
而EF 和FG是平面EFG内的两条相交直线，故有平面EFG∥平面PAC．
∴MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，故有平面EFG⊥平面EMN．