Question

已知函数f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）
（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间
（Ⅱ） 设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与-2b的大小．

Answer

（I）由函数的解析式知，可先求出函数f（x）=ax2+bx-lnx的导函数，再根据a≥0，分a=0，a＞0两类讨论函数的单调区间即可；
（II）由题意当a＞0时，是函数的唯一极小值点，再结合对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出=1化简出a，b的关系，再要研究的结论比较lna与-2b的大小构造函数g（x）=2-4x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx-lnx（a，b∈R）
知f′（x）=2ax+b-
又a≥0，
故当a=0时，f′（x）=
若b=0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜，即函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数、
所以函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞），
当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax2+bx-1=0
由于△=b2+8a＞0，故有
x2=，x1=
显然有x1＜0，x2＞0，
故在区间（0，）上，导数小于0，函数是减函数；在在区间（，+∞）上，导数大于0，函数是增函数
综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）；当a＞0，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）
（II）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，
由（1）知，是函数的唯一极小值点故=1
整理得2a+b=1，即b=1-2a
令g（x）=2-4x+lnx，则g′（x）=
令g′（x）==0得x=
当0＜x＜时，g′（x）＞0，函数单调递增；
当＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数单调递减
因为g（x）≤g（）=1-ln4＜0
故g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜-2b