Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为
（I）求椭圆C的方程
（II）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．

Answer

（I）设椭圆的标准方程为，焦距为2c．由题意可得，解出即可得到椭圆的方程．
（II）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2-2=0，利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长|AB|，再利用点到直线的距离公式即可得到原点O到直线AB的距离，进而得到三角形AOB的面积，利用即可得到m，n，t的关系，再利用，及中点坐标公式即可得到点P的坐标代人椭圆的方程可得到m，n，t的关系式与上面得到的关系式联立即可得出t的值．
【解析】
（I）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为2c．
则，解得，∴椭圆的方程为．
（II）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2-2=0，
则△=4m2n2-4（m2+2）（n2-2）=4（2m2+4-2n2）＞0，（*）
，，
∴|AB|=
==．
原点O到直线AB的距离d=，
好∵好，
∴=，化为．（**）
另一方面，=，
∴xE=myE+n==，即E．
∵，∴．
代入椭圆方程得，
化为n2t2=m2+2，代入（**）得，化为3t4-16t2+16=0，解得．
∵t＞0，∴．经验证满足（*）．
∴．