Question

设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x⁴-x³+ax+b≤（x²-1）²，则ab等于    ．

Answer

由题意，x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤（x2-1）2，考察（x2-1）2，发现当x=1时，其值为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，再令f（x）=x4-x3+ax+b，即f（x）≥0在x≥0恒成立，利用导数研究函数在x≥0的极值，即可得出参数所满足的另一个方程，由此解出参数a，b的值，问题即可得解
【解析】
验证发现，
当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，
当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得-1≤a≤0
令f（x）=x4-x3+ax+b，即f（1）=a+b=0
又f′（x）=4x3-3x2+a，f′′（x）=12x2-6x，
令f′′（x）＞0，可得x＞，则f′（x）=4x3-3x2+a在[0，]上减，在[，+∞）上增
又-1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0
又x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4-x3+ax+b的极小值点，也是最小值点
故有f′（1）=1+a=0，由此得a=-1，b=1
故ab=-1
故答案为-1