Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求 的值．

Answer

（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．
（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．
（Ⅲ）先证 PC⊥OG，且 PC==．由△COG∽△PCA，可得，解得GC的值，可得PG=PC-GC 的值，从而求得  的值．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD． 
∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．
而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．
（Ⅱ）若G是PC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．
由题意可得，GO=PA=．
△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=4+4-2×2×2×cos120°=12，
∴AC=2，OC=．
∵直角三角形COD中，OD==2，
∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，
∴PC⊥OG，且 PC==．
由△COG∽△PCA，可得，即 ，解得GC=，
∴PG=PC-GC=-=，
∴==．