Question

已知a∈R，函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．

Answer

（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2-12x+6，所以f′（2）=6
∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8；
（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）
令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a
当a＞1时，
x （0，1） 1 （1，a） a （a，2a） 2a
f′（x）   + - +  
f（x） 单调递增 极大值3a-1 单调递减 极小值
a2（3-a） 单调递增 4a3

比较f（0）=0和f（a）=a2（3-a）的大小可得g（a）=；
当a＜-1时，
X （0，1） 1 （1，-2a） -2a
f′x）   - +  
f（x） 单调递减 极小值3a-1 单调递增 -28a3-24a2

∴g（a）=3a-1
∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．