Question

已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ） 过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x-2于M、N两点，求|MN|的最小值．

Answer

（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；
（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．
【解析】
（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1
由消去y，整理得x2-4kx-4=0
所以x1+x2=4k，x1x2=-4，从而有|x1-x2|==4
由解得点M的横坐标为xM===，
同理可得点N的横坐标为xN=
所以|MN|=|xM-xN|=|-|=8||=
令4k-3=t，t不为0，则k=
当t＞0时，|MN|=2＞2
当t＜0时，|MN|=2=2≥
综上所述，当t=-时，|MN|的最小值是