Question

若函数f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为    ．

Answer

由题意得函数y=f（x-2）的图象关于y轴对称，可得y=f（x-2）是偶函数．根据偶函数的定义，采用比较系数法求出a=8且b=15，由此可得f（x）=-x4-8x3-14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（-∞，-2-）、（-2，-2+）上是增函数，在区间（-2-，-2）、（-2+，+∞）上是减函数，结合f（-2-）=f（-2+）=16，即可得到f（x）的最大值．
【解析】
∵函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，
∴将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位，得函数y=f（x-2）的图象关于x=0对称，
可得f（x-2）=[1-（x-2）2][（x-2）2+a（x-2）+b]是偶函数
设g（x）=f（x-2）=-x4+（8-a）x3+（12a-b-23）x2+（28-11a+4b）x+8a-4b
∵g（-x）=g（x），
∴，解之得
因此，f（x）=（1-x2）（x2+8x+15）=-x4-8x3-14x2+8x+15
求导数，得f'（x）=-4x3-24x2-28x+8
令f'（x）=0，得x1=-2-，x2=-2，x3=-2+
当x∈（-∞，-2-）时，f'（x）＞0；当x∈（-2-，-2）时，f'（x）＜0；
当x∈（-2，-2+）时，f'（x）＞0； 当x∈（-2+，+∞）时，f'（x）＜0
∴f（x）在区间（-∞，-2-）、（-2，-2+）上是增函数，在区间（-2-，-2）、（-2+，+∞）上是减函数
又∵f（-2-）=f（-2+）=16
∴f（x）的最大值为16
故答案为：16