Question

如图，互不相同的点A₁，A₂，…，A_n，…和B₁，B₂，…，B_n，…分别在角O的两条边上，所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积均相等，设OA_n=a_n，若a₁=1，a₂=2，则数列{a_n}的通项公式是    ．

Answer

设，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到==，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到an．
【解析】
设，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，
∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．
故梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．
∵所有AnBn相互平行，∴所有△OAnBn（n∈N*）都相似，∴，，，…，
∵，∴，，…．
∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n-1）×3=3n-2．
∴．
因此数列{an}的通项公式是．
故答案为．