Question

设椭圆E：的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F₁，F₂分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F₂P交y轴于点Q，并且F₁P⊥F₁Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．

Answer

（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；
（2）设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），其中．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率=，直线F2P的方程为．即可得出Q．得到直线F1Q的斜率=．利用F1Q⊥F1P，可得=．化为．与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标．
【解析】
（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得．
故椭圆E的方程为．
（2）设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），其中．
由题设可知：x≠c．则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=．
故直线F2P的方程为．
令x=0，解得．即点Q．
因此直线F1Q的斜率=．
∵F1Q⊥F1P，∴=．
化为．
联立，及x＞0，y＞0，
解得，．
即点P在定直线x+y=1上．