Question

设函数f_n（x）=-1+x+），证明：
（1）对每个n∈N₊，存在唯一的x_n，满足f_n（x_n）=0；
（2）对于任意p∈N₊，由（1）中x_n构成数列{x_n}满足0＜x_n-x_n+p＜．

Answer

（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得fn（1）＞0，fn（）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．
（2）由题意可得fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0，由 fn+1（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 xn+1＜xn，故xn-xn+p＞0．用 fn（x）的解析式减去fn+p （xn+p）的
解析式，变形可得xn-xn+p=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于 ，综上可得要证的结论成立．
证明：（1）对每个n∈N+，当x＞0时，由函数fn（x）=-1+x+），可得
f′（x）=1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
由于f1（x1）=0，当n≥2时，fn（1）=++…+＞0，即fn（1）＞0．
又fn（）=-1++[+++…+]≤-+•=-+×
=-•＜0，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的xn，满足fn（xn）=0．
（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}，当x＞0时，∵fn+1（x）=fn（x）+＞fn（x），
∴fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0．
由 fn+1（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 xn+1＜xn，即 xn-xn+1＞0，故数列{xn}为减数列，即对任意的 n、p∈N+，xn-xn+p＞0．
由于 fn（x）=-1+xn+++…+=0 ①，
fn+p （xn+p）=-1+xn+p+++…++[++…+]②，
用①减去②并移项，利用 0＜xn+p≤1，可得
xn-xn+p=+≤≤＜=＜．
综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn-xn+p＜．