Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A．∃x∈R，f（x）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若x是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（-∞，x）上单调递减
D．若x是f（x）的极值点，则f′（x ）=0

Answer

对于A，对于三次函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，由于当x→-∞时，y→-∞，当x→+∞时，y→+∞，故在区间（-∞，+∞）肯定存在零点；对于B：因为函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，都可能经过中心对称图形的y=x3的图象平移得到，故其函数y=f（x）的图象是中心对称图形；对于C：采用取特殊函数的方法，若取a=-1，b=-1，c=0，则f（x）=x3-x2-x，利用导数研究其极值和单调性进行判断；D：若x是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x ）=0，正确．
【解析】
对于三次函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，
A：由于当x→-∞时，y→-∞，当x→+∞时，y→+∞，
故∃x∈R，f（x）=0，正确；
B：②∵f（--x）+f（x）=（--x）3+a（--x）2+b（--x）+c+x3+ax2+bx+c=-+2c，
f（-）=（-）3+a（-）2+b（-）+c=-+c，
∵f（--x）+f（x）=2f（-），
∴点P（-，f（-））为对称中心，故B正确．
C：若取a=-1，b=-1，c=0，则f（x）=x3-x2-x，
对于f（x）=x3-x2-x，∵f′（x）=3x2-2x-1
∴由f′（x）=3x2-2x-1＞0得x∈（-∞，-）∪（1，+∞）
由f′（x）=3x2-2x-1＜0得x∈（-，1）
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-），（1，+∞），减区间为：（-，1），
故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（-∞，1）不是单调递减，故错；
D：若x是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x ）=0，正确．
故选C．