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选修4--4;坐标系与参数方程 已知动点P,Q都在曲线C:上,对应参数分别为β=...

选修4--4;坐标系与参数方程
已知动点P,Q都在曲线C:manfen5.com 满分网上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
(I)根据题意写出P,Q两点的坐标:P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标,从而得出M的轨迹的参数方程; (II)利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离d==,再验证当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点. 【解析】 (I)根据题意有:P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α), ∵M为PQ的中点,故M(cosα+cos2α,sin2α+sinα), ∴求M的轨迹的参数方程为:(α为参数,0<α<2π). (II)M到坐标原点的距离d==(0<α<2π). 当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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