Question

给定数列a₁，a₂，…，a_n．对i=1，2，…，n-1，该数列前i项的最大值记为A_i，后n-i项a_i+1，a_i+2，…，a_n的最小值记为B_i，d_i=A_i-B_i．
（Ⅰ）设数列{a_n}为3，4，7，1，写出d₁，d₂，d₃的值；
（Ⅱ）设a₁，a₂，…，a_n-1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a₁＞0．证明：d₁，d₂，…，d_n-1是等比数列；
（Ⅲ）设d₁，d₂，…，d_n-1是公差大于0的等差数列，且d₁＞0．证明：a₁，a₂，…，a_n-1是等差数列．

Answer

（Ⅰ）当i=1时，A1=3，B1=1，从而可求得d1，同理可求得d2，d3的值；
（Ⅱ）依题意，可知an=a1qn-1（a1＞0，q＞1），由dk=ak-ak+1⇒dk-1=ak-1-ak（k≥2），从而可证（k≥2）为定值．
（Ⅲ）依题意，0＜d1＜d2＜…＜dn-1，可用反证法证明a1，a2，…，an-1是单调递增数列；再证明am为数列{an}中的最小项，从而可求得是ak=dk+am，问题得证．
【解析】
（Ⅰ）当i=1时，A1=3，B1=1，故d1=A1-B1=2，同理可求d2=3，d3=6；
（Ⅱ）由a1，a2，…，an-1（n≥4）是公比q大于1的等比数列，且a1＞0，则{an}的通项为：an=a1qn-1，且为单调递增的数列．
于是当k=1，2，…n-1时，dk=Ak-Bk=ak-ak+1，
进而当k=2，3，…n-1时，===q为定值．
∴d1，d2，…，dn-1是等比数列；
（Ⅲ）若d1，d2，…，dn-1是公差大于0的等差数列，则0＜d1＜d2＜…＜dn-1．
先证明a1，a2，…，an-1是单调递增数列．
否则设ak是第一个使得ak≤ak-1成立的项，则Ak-1=Ak，Bk-1≤Bk，因此dk-1=Ak-1-Bk-1≥Ak-Bk=dk，矛盾．
因此a1，a2，…，an-1是单调递增数列…①
再证明am为数列{an}中的最小项，否则设ak＜am（k=1，2，…n-1），显然k≠1，否则d1=A1-B1=a1-B1≤a1-a1=0，与d1＞0矛盾；
因而k≥2，此时考虑dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak＜0，矛盾．
因此am为数列{an}中的最小项，…②
综合①②dk=Ak-Bk=ak-am（k=1，2，…n-1），于是ak=dk+am，也即a1，a2，…，an-1是等差数列．