Question

在正项等比数列{a_n}中，，a₆+a₇=3，则满足a₁+a₂+…+a_n＞a₁a₂…a_n的最大正整数n的值为    ．

Answer

设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+an及a1a2…an的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．
【解析】
设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，
由题意可得，解之可得得：a1=，q=2，
故其通项公式为an==2n-6．
记Tn=a1+a2+…+an==，
Sn=a1a2…an=2-5×2-4…×2n-6=2-5-4+…+n-6=．
由题意可得Tn＞Sn，即＞，
化简得：2n-1＞，即2n-＞1，
因此只须n＞，即n2-13n+10＜0
解得 ＜n＜，
由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．
故答案为：12