Question

设{a_n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S_n是其前n项和．记，n∈N^*，其中c为实数．
（1）若c=0，且b₁，b₂，b₄成等比数列，证明：（k，n∈N^*）；
（2）若{b_n}是等差数列，证明：c=0．

Answer

（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到Sn，在前n项和公式中取n=nk可证结论；
（2）把Sn代入中整理得到bn=，由等差数列的通项公式是an=An+B的形式，说明，由此可得到c=0．
证明：（1）若c=0，则an=a1+（n-1）d，，．
当b1，b2，b4成等比数列时，则，
即：，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．
因此：，，．
故：（k，n∈N*）．
（2）
=
=．  ①
若{bn}是等差数列，则{bn}的通项公式是bn=An+B型．
观察①式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：，即，而，
故c=0．
经检验，当c=0时{bn}是等差数列．