Question

设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-ax，其中a为实数．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；
（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

Answer

（1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为-a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；
（2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数．
【解析】
（1）求导数可得f′（x）=-a
∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥，x∈（1，+∞）．
∴a≥1．
g′（x）=ex-a，
若1≤a≤e，则g′（x）=ex-a≥0在（1，+∞）上恒成立，
此时，g（x）=ex-ax在（1，+∞）上是单调增函数，无最小值，不合；
若a＞e，则g（x）=ex-ax在（1，lna）上是单调减函数，在（lna，+∞）上是单调增函数，gmin（x）=g（lna），满足．
故a的取值范围为：a＞e．
（2）g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，则a≤ex在（-1，+∞）上恒成立，
∴
f′（x）=-a=（x＞0）
①0＜，令f′（x）＞0得增区间（0，）；令f′（x）＜0得减区间（，+∞），
当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞
∴当x=时，f（）=-lna-1≥0，当且仅当a=时取等号
∴当a=时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点；
②a=0时，则f（x）=-lnx，∴f（x）有1个零点；
③a＜0时，-a≥0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）=lnx-ax在（0，+∞）上是单调增函数
当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→+∞
∴f（x）有1个零点
综上所述，当a=或a≤0时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点．