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高中数学试题
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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC...
如图,在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AA
1
C
1
C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA
1
C
1
C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA
1
⊥平面ABC;
(Ⅱ)求证二面角A
1
-BC
1
-B
1
的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段BC
1
上存在点D,使得AD⊥A
1
B,并求
的值.
(I)利用AA1C1C是正方形,可得AA1⊥AC,再利用面面垂直的性质即可证明; (II)利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC.通过建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角; (III)设点D的竖坐标为t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D,利用向量垂直于数量积得关系即可得出. (I)证明:∵AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC. 又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC, ∴AA1⊥平面ABC. (II)【解析】 由AC=4,BC=5,AB=3. ∴AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC. 建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4), ∴,,. 设平面A1BC1的法向量为,平面B1BC1的法向量为=(x2,y2,z2). 则,令y1=4,解得x1=0,z1=3,∴. ,令x2=3,解得y2=4,z2=0,∴. ===. ∴二面角A1-BC1-B1的余弦值为. (III)设点D的竖坐标为t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D, ∴=,=(0,3,-4), ∵,∴, ∴,解得t=. ∴.
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考点分析:
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1
B
1
C
1
D
1
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1
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1
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,
,
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,则
=
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