Question

已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．
（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

Answer

（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；
（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足=r2-1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．
【解析】
（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）
∴直线AC是BD的垂直平分线，可得AC方程为x=1
设A（1，t），得，解之得t=（舍负）
∴A的坐标为（1，），同理可得C的坐标为（1，-）
因此，|AC|=，可得菱形OABC的面积为S=|AC|•|B0|=；
（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，
设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2
与椭圆的公共点，解之得=r2-1
设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足
x1=x2=•，或x1=•且x2=-•，
①当x1=x2=•时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；
②若x1=•且x2=-•，则x1+x2=0，
可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC
综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．